Co to są pierwiastki?
Pierwiastki to operacje matematyczne, które działają odwrotnie do potęgowania. W najprostszym wytłumaczeniu, pierwiastek z liczby to taka liczba, która pomnożona przez siebie daje wartość, z której bierzemy pierwiastek. Istnieje kilka rodzajów pierwiastków, ale najczęściej spotykamy się z pierwiastkiem kwadratowym i pierwiastkiem sześciennym.
Pierwiastek kwadratowy
Pierwiastek kwadratowy to operacja, która odpowiada za obliczenie liczby, która podniesiona do kwadratu (pomnożona przez siebie) daje określoną wartość. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 25 to 5, ponieważ 5 × 5 = 25. Matematycznie możemy zapisać to działanie jako: √25 = 5. Pierwiastek kwadratowy oznaczamy symbolem „√”, a w przypadku liczby, z której bierzemy pierwiastek, stosujemy ten symbol przed liczbą.
Warto pamiętać, że pierwiastek kwadratowy z liczby zawsze ma dwie odpowiedzi – dodatnią i ujemną, ponieważ zarówno 5, jak i -5 podniesione do kwadratu dadzą nam 25.
Przeczytaj również:
Obliczanie procentów – proste wytłumaczenie, przykłady
Pierwiastek sześcienny
Pierwiastek sześcienny polega na obliczeniu liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi daje daną liczbę. Innymi słowy, pierwiastek sześcienny z liczby to liczba, która pomnożona przez siebie trzy razy da wynik, z którego bierzemy pierwiastek. Na przykład, pierwiastek sześcienny z 27 to 3, ponieważ 3 × 3 × 3 = 27. Matematycznie zapisujemy to jako: ∛27 = 3. Pierwiastek sześcienny ma tylko jedną odpowiedź – jest to liczba dodatnia, ponieważ potęgowanie liczby ujemnej do trzeciej potęgi daje liczbę ujemną.
Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy – przykłady
Należy pamiętać, że obliczanie pierwiastka kwadratowego jest jednym z podstawowych zagadnień matematycznych, które można opanować dzięki kilku prostym krokom. Pierwiastek kwadratowy z liczby to taka liczba, która podniesiona do kwadratu (pomnożona przez siebie) daje tę liczbę. Istnieje kilka metod, które pozwalają obliczyć pierwiastek kwadratowy: od prostych przykładów, po bardziej zaawansowane techniki. W każdym przypadku wynik będzie taki sam. Poniżej wyjaśnimy podstawowe zasady oraz przedstawimy kilka przykładów, które pomogą lepiej zrozumieć to zagadnienie.
1. Obliczanie pierwiastka kwadratowego dla liczb, które są kwadratami liczb całkowitych
Pierwiastek kwadratowy z liczby 36 to 6, ponieważ 6 pomnożone przez siebie daje 36 (6 × 6 = 36). Możemy to zapisać matematycznie jako:
√36 = 6, ponieważ 6 x 6 = 36.
Przykład 1: Oblicz pierwiastek kwadratowy z 225.
Ponieważ 15 × 15 = 125, mamy:
√125 = 15.
Przykład 2: Oblicz pierwiastek kwadratowy z 49.
Ponieważ 7 × 7 = 49, mamy:
√49 = 7.
Przeczytaj również:
Wzór na stężenie procentowe – jak obliczyć stężenie procentowe roztworu?
2. Obliczanie pierwiastka kwadratowego dla liczb, które nie są kwadratami liczb całkowitych
W takich przypadkach pierwiastek kwadratowy będzie ułamkiem, ale możemy go wyliczyć przez przybliżenie (kalkulator pierwiastków). Na przykład, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 20, musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez siebie da 20. Możemy to zrobić przy pomocy kalkulatora.
Przykład 3: Oblicz pierwiastek kwadratowy z 20.
Pierwiastek kwadratowy z 20 wynosi około 4,47, ponieważ 4,47 × 4,47 ≈ 20,
√20 ≈ 4,47.
Najłatwiejszym sposobem obliczania pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby jest użycie kalkulatora. Wystarczy wpisać liczbę, a następnie nacisnąć przycisk odpowiadający za obliczenie pierwiastka kwadratowego, zwykle oznaczony jako "√".
4. Estymacja (oszacowanie) pierwiastka kwadratowego dla liczb będących ułamkami
Kiedy liczba, z której bierzemy pierwiastek, nie jest kwadratem liczby całkowitej, możemy spróbować oszacować wynik. Na przykład, jeśli chcemy obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 50, wiemy, że:
√49 = 7, ponieważ 49 to 7²,
√64 = 8, ponieważ 64 to 8².
Pierwiastek kwadratowy z 50 leży więc między 7 a 8. Przybliżony wynik można uzyskać, szacując wartość pośrednią, co daje nam wynik większy od 7, ale mniejszy od 8 (bliżej 7).
Przeczytaj również:
Dzielenie ułamków zwykłych – wyjaśnienie i przykłady
Podsumowanie
Obliczanie pierwiastka kwadratowego polega na znalezieniu liczby, która pomnożona przez siebie da określoną wartość. Możemy to robić dla liczb, które są kwadratami całych liczb, jak i dla liczb, które takimi kwadratami nie są, wówczas wynik może być przybliżony. Metoda zależy od rodzaju liczby, z której bierzemy pierwiastek, ale z pomocą kalkulatorów i tabel pierwiastków, obliczenia te są szybkie i łatwe do wykonania.
Obliczanie pierwiastków sześciennych (trzeci stopień pierwiastka) – przykłady
Obliczanie pierwiastków sześciennych (pierwiastek trzeciego stopnia) polega na znalezieniu liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi (pomnożona przez siebie trzy razy) daje określoną wartość. Symbol pierwiastka sześciennego zapisujemy jako ∛, a jego obliczanie jest analogiczne do obliczania pierwiastka kwadratowego, z tą różnicą, że szukamy liczby, która pomnożona przez siebie trzy razy da wynik, z którego bierzemy pierwiastek. Na przykład, pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 8 to 2, ponieważ 2 × 2 × 2 = 8. Matematycznie można zapisać to jako: ∛8 = 2.
Przykład 4: Oblicz pierwiastek sześcienny z 27.
Ponieważ 3 × 3 × 3 = 27, mamy:
∛27 = 3.
Przykład 5: Oblicz pierwiastek sześcienny z 64.
Ponieważ 4 × 4 × 4 = 64, mamy:
∛64 = 4.
W przypadku liczb, które nie są doskonałymi sześcianami (np. 50), pierwiastek trzeciego stopnia będzie liczbą przybliżoną. W takich przypadkach wynik możemy uzyskać za pomocą kalkulatora lub metod numerycznych. Na przykład pierwiastek sześcienny z 50 wynosi około 3,684, ponieważ 3,684 × 3,684 × 3,684 ≈ 50.
